『多様体入門 (数学選書 5)』

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著者松島与三

件名標目多様体

出版日 1965-09-25

出版社裳華房

ISBN-13

NDC10 413.98

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新装版がKindleで出てる

https://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1317-3.htm

序言

読者のために

1．序論

1.1　位相空間

SS1 位相空間

位相空間$ (X,\mathcal O)について調べる

$ \mathcal Oの元を開集合と呼ぶ

$ x\in Xについて、$ xを含む開集合を開近傍という

開近傍全体の集合を開近傍系といい、$ \mathcal N(x)\cap\mathcal Oと等しい

2025-02-22 18:32:18 強くてニューゲームしてきたtakker.icon

Hausdorffの公理系との対応を調べたい

$ xの開近傍全体のつくる集合を$ \mathfrak U(x):=\{O\in\mathcal O|x\in O\}=\mathcal N(x)\cap\mathcal Oとする

$ \because O\in\mathcal N(x)\cap\mathcal O\iff O\in\mathcal O\land x\in O^\circ=O\iff x\in O\in\mathcal O

$ \mathfrak U(x)について次が成り立つ

(2.1) $ \mathfrak U(x)\neq\varnothing\land\forall U\in\mathfrak U(x):x\in U

$ \because∀x∈X(X∈N(x)),∀x∈X∀N∈N(x)(x∈N)

(2.2) $ \forall U_1,U_2\in\mathfrak U(x):U_1\cap U_2\in\mathfrak U(x)

=∀x∈X∀N1,N2∈N(x)(N1∩N2∈N(x))

(2.3) $ \forall U_1\in\mathfrak U(x)\forall y\in U_1\exist U_2\in\mathfrak U(y).U_2\subseteq U_1

これはどこから求まるのかな

∀x∈X∀N1∈N(x)∃N2∈N(x)∀y∈N2(N1∈N(y))を使うのか？

証明

(2.1)

位相の定義より

$ x\in X\in\mathcal O

$ \iff X\in\mathfrak U(x)

$ \implies\mathfrak U(x)\neq\varnothing

また$ \mathfrak U(x)の定義より

$ U\in\mathfrak U(x)

$ \iff x\in U\in\mathcal O

$ \implies x\in U

$ \underline{\therefore \mathfrak U(x)\neq\varnothing\land\forall U\in\mathfrak U(x).x\in U\quad}_\blacksquare

(2.2)

$ U_1,U_2\in\mathfrak U(x)

$ \iff x\in U_1\in\mathcal O\land x\in U_2\in\mathcal O

$ \iff x\in U_1\cap U_2\land U_1,U_2\in\mathcal O

$ \implies x\in U_1\cap U_2\in\mathcal O

$ \because位相の定義

$ \iff U_1\cap U_2\in\mathfrak U(x)

$ \underline{\therefore\forall U_1,U_2\in\mathfrak U(x)\exist U_3\in\mathfrak U(x).U_3\subseteq U_1\cap U_2\quad}_\blacksquare

(2.3)

$ y\in U_1\in\mathfrak U(x)

$ \iff x,y\in U_1\in\mathcal O

$ \iff x\in U_1\in\mathfrak U(y)

$ \implies\exist U_2\in\mathfrak U(y).U_2\subseteq U_1

$ \underline{\therefore\forall U_1\in\mathfrak U(x)\forall y\in U_1\exist U_2\in\mathfrak U(y).U_2\subseteq U_1\quad}_\blacksquare

逆に次も成り立つ

$ \forall x\in X\exist \mathfrak U(x)\subseteq 2^X.(2.1)\land(2.2)\land(2.3)だとする

$ \mathfrak O:=\{U_1\in2^X|U_1=\varnothing\lor\forall y\in U_1\exist U_2\in\mathfrak U(y).U_2\subseteq U_1\}とする

$ \forall x\in X.\mathfrak U(x)\subseteq\mathfrak Oが成り立つ

証明

$ \forall x\in X\forall U_1\subseteq 2^X.

$ U_1\in\mathfrak U(x)

$ \implies\begin{dcases}x\in U_1\\\forall U_2\in\mathfrak U(x)\exist U_3\in\mathfrak U(x).U_3\subseteq U_1\cap U_2\\\forall y\in U_1\exist U_2\in\mathfrak U(y).U_2\subseteq U_1\end{dcases}

$ \implies\forall y\in U_1\exist U_2\in\mathfrak U(y).U_2\subseteq U_1

$ \implies U_1\in\mathfrak O

$ \underline{\therefore\forall x\in X.\mathfrak U(x)\subseteq\mathfrak O\quad}_\blacksquare

さらに$ (X,\mathfrak O)は位相空間をなす

証明

定義より$ \varnothing\in\mathfrak O

$ \forall U_1,U_2\subseteq 2^X.

$ U_1,U_2\in\mathfrak O

$ \implies U_1\cap U_2=\varnothing\lor\begin{dcases}\forall y\in U_1\exist U_3\in\mathfrak U(y).U_3\subseteq U_1\\\forall y\in U_2\exist U_4\in\mathfrak U(y).U_4\subseteq U_2\end{dcases}

$ \implies U_1\cap U_2=\varnothing\lor\forall y\in U_1\cap U_2\begin{dcases}\exist U_3\in\mathfrak U(y).U_3\subseteq U_1\\\exist U_4\in\mathfrak U(y).U_4\subseteq U_2\end{dcases}

$ \iff U_1\cap U_2=\varnothing\lor\forall y\in U_1\cap U_2\exist U_3,U_4\in\mathfrak U(y)\begin{dcases}U_3\subseteq U_1\\U_4\subseteq U_2\\\exist U_5\in\mathfrak U(y).U_5\subseteq U_3\cap U_4\end{dcases}

$ \because(2.2)

$ \implies U_1\cap U_2=\varnothing\lor\forall y\in U_1\cap U_2\exist U_3,U_4,U_5\in\mathfrak U(y).U_5\subseteq U_3\cap U_4\subseteq U_1\cap U_2

$ \implies U_1\cap U_2=\varnothing\lor\forall y\in U_1\cap U_2\exist U_5\in\mathfrak U(y).U_5\subseteq U_1\cap U_2

$ \iff U_1\cap U_2\in\mathfrak O

$ \therefore\forall U_1,U_2\in\mathfrak O.U_1\cap U_2\in\mathfrak O

$ \forall\mathfrak U\subseteq 2^{2^X}.

$ \mathfrak U\subseteq\mathfrak O

$ \iff\forall U_1\in\mathfrak U.(U_1=\varnothing\lor\forall y\in U_1\exist U_2\in\mathfrak U(y).U_2\subseteq U_1)

うまくわからん。逆からせめるかtakker.icon

$ \bigcup\mathfrak U\in\mathfrak O

$ \iff\bigcup\mathfrak U=\varnothing\lor\forall y\in\bigcup\mathfrak U\exist U_2\in\mathfrak U(y).U_2\subseteq\bigcup\mathfrak U

$ \iff(\forall U\in\mathfrak U.U=\varnothing)\lor\forall U\in\mathfrak U\forall y\in U\exist U_2\in\mathfrak U(y)\forall x\in U_2\exist U_3\in\mathfrak U.x\in U_3

ぬーん、すぐにはわからないtakker.icon

よって、$ \{U\in\mathfrak O| x\in U\}は$ x\in Xの近傍全体の集合となるが、

$ U_1\in\{U\in\mathfrak O| x\in U\}

$ \iff x\in U_1\in\mathfrak O

$ \iff x\in U_1\in2^X\land(U_1=\varnothing\lor\forall y\in U_1\exist U_2\in\mathfrak U(y).U_2\subseteq U_1)

$ \iff x\in U_1\in2^X\land\forall y\in U_1\exist U_2\in\mathfrak U(y).U_2\subseteq U_1

$ \iff x\in U_1\in2^X\land\exist U_2\in\mathfrak U(x).U_2\subseteq U_1\land\forall y\in U_1\exist U_2\in\mathfrak U(y).U_2\subseteq U_1

この定義での$ \mathfrak U(x)を、位相空間$ (X,\mathfrak O)における$ xの基本近傍系と呼ぶ

以降$ \mathfrak U^* と表記する

Hausdorff空間

位相空間の直積集合から、新しい位相空間を誘導できる

任意の位相空間$ (X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y)について、$ \mathfrak U:X\times Y\ni(x,y)\mapsto\mathfrak U_X^*(x)\times\mathfrak U_Y^*(y)\in 2^{2^X\times 2^Y}とする

このとき$ \mathfrak O:=\{U_1\in2^X\times 2^Y|U_1=\varnothing\lor\forall (x,y)\in U_1\exist U_2\in\mathfrak U(x,y).U_2\subseteq U_1\}とすると、$ (X\times Y,\mathfrak O)は位相空間をなす

証明

$ \varnothing\in\mathfrak O

$ \forall U_1,U_2\subseteq 2^X\times2^Y.

$ U_1,U_2\in\mathfrak O

$ \implies U_1\cap U_2=\varnothing\lor\begin{dcases}\forall (x,y)\in U_1\exist U_3\in\mathfrak U(x,y).U_3\subseteq U_1\\\forall (x,y)\in U_2\exist U_4\in\mathfrak U(x,y).U_4\subseteq U_2\end{dcases}

$ \implies U_1\cap U_2=\varnothing\lor\forall (x,y)\in U_1\cap U_2\begin{dcases}\exist U_3\in\mathfrak U(x,y).U_3\subseteq U_1\\\exist U_4\in\mathfrak U(x,y).U_4\subseteq U_2\end{dcases}

$ \iff U_1\cap U_2=\varnothing\lor\forall (x,y)\in U_1\cap U_2\exist U_3,U_4\in\mathfrak U(x,y)\begin{dcases}U_3\subseteq U_1\\U_4\subseteq U_2\\\exist U_5\in\mathfrak U(x,y).U_5\subseteq U_3\cap U_4\end{dcases}

$ \because(2.2)

$ \implies U_1\cap U_2=\varnothing\lor\forall (x,y)\in U_1\cap U_2\exist U_3,U_4,U_5\in\mathfrak U(x,y).U_5\subseteq U_3\cap U_4\subseteq U_1\cap U_2

$ \implies U_1\cap U_2=\varnothing\lor\forall (x,y)\in U_1\cap U_2\exist U_5\in\mathfrak U(x,y).U_5\subseteq U_1\cap U_2

$ \iff U_1\cap U_2\in\mathfrak O

$ \therefore\forall U_1,U_2\in\mathfrak O.U_1\cap U_2\in\mathfrak O

$ (X\times Y,\mathfrak O)を位相空間$ (X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y)の直積位相空間と呼ぶ

1.2　ベクトル空間

1.3　n 次元数空間 Rn と Cr 級関数

1.4　逆関数の定理

2．可微分多様体

2.1　多様体の定義

2.2　可微分多様体の例

2.3　可微分関数と局所座標系

付記　可微分構造の従属性と同値性

2.4　可微分写像

2.5　接ベクトルと接ベクトル空間，リーマン計量

2.6　関数の微分と臨界点

2.7　写像の微分

2.8　Sardの定理

2.9　リーマン多様体の運動

Riemann多様体

2.10　多様体の挿入とうめ込み，部分多様体

2.11　ベクトル場と微分作用素

2.12　ベクトル場と１パラメーター変換群

2.13　リーマン多様体の無限小運動

2.14　パラコンパクト多様体と単位の分割

2.15　多様体の位相に関する種々の注意

2.16　複素多様体

2.17　概複素構造

3．微分形式とテンソル場

3.1　p 次線型形式

p次線型形式

3.2　対称テンソルと交代テンソル，外積

付記　対称積と対称多元環

3.3　多様体上の共変テンソル場と微分形式

3.4　テンソル場のリイ微分と微分形式の外微分

3.5　写像による共変テンソル場の変換

3.6　多様体のコホモロジー環

3.7　複素多様体上の複素微分形式

3.8　微分式系と積分多様体

3.9　積分可能な概複素構造への応用

3.10　極大連結積分多様体

4．リイ群と等質空間

Lie群

4.1　位相群

4.2　位相群の部分群と商空間

4.3　位相群の同型と準同型

4.4　位相群の連結成分

4.5　位相群の等質空間，局所コンパクト群

4.6　リイ群とリイ環

4.7　リイ群上の不変微分形式

4.8　１パラメーター部分群と指数写像

4.9　リイ群の例

4.10　リイ群の標準座標系

4.11　複素リイ群と複素リイ環

4.12　リイ群のリイ部分群

4.13　線型リイ群

4.14　リイ群の商空間および商群

4.15　リイ群の同型と準同型，リイ群の表現

4.16　連結可換リイ群の構造

4.17　１パラメーター部分群の微分可能性

4.18　局所コンパクト群がリイ群になるための条件

4.19　リイ変換群とリイ群の等質空間

4.20　等質空間の例

5．微分形式の積分とその応用

5.1　多様体の向きづけ

5.2　微分形式の積分

5.3　リイ群上の不変積分

5.4　不変積分の応用

5.5　ストークスの定理

5.6　写像度

5.7　ベクトル場の発散，ラプラシアン

あとがき

索引

#2025-01-15 08:29:26